Seberapa cepat berubah?
Kecepatan mobil, pertumbuhan tanaman, atau perubahan harga dapat dipelajari dengan turunan.
Fokus: perubahan pada satu saat.Matematika SMA • Ramah pemula
Kalkulus adalah ilmu tentang perubahan dan akumulasi.
Kita akan memahami tiga gagasan utama—limit, turunan, dan integral—melalui langkah kecil, contoh sehari-hari, grafik, serta percobaan interaktif.
✓ Tanpa hafalan di awal✓ 2 lab interaktif✓ Kuis singkat
Gambaran besar
Dua pertanyaan, satu bahasa matematika.
Kalkulus lahir karena ada pertanyaan yang sulit dijawab hanya dengan aritmetika biasa.
Berapa banyak yang terkumpul?
Jarak dari kecepatan, volume air, atau luas bentuk lengkung dapat dihitung dengan integral.
Fokus: akumulasi dalam suatu selang.LIMITmembangunTURUNANberpasangan denganINTEGRAL
Sebelum mulai
Fondasi yang perlu kamu kenal.
Fungsi
Mesin yang menerima masukan x dan menghasilkan keluaran. Contoh: f(x) = x².
Kemiringan
Perubahan vertikal dibagi perubahan horizontal. Ini adalah laju perubahan rata-rata.
Koordinat
Titik pada bidang. Grafik fungsi adalah kumpulan titik (x, f(x)).
Aljabar
Operasi pangkat, pecahan, dan pemfaktoran membantu menyederhanakan perhitungan.
Konsep 1
Limit: mendekati, bukan harus menyentuh.
Dibaca: limit f(x) saat x mendekati alimx→a f(x) = LNilai f(x) mendekati L ketika x mendekati a.
Mengapa perlu limit?
Untuk mengetahui kecepatan tepat pada satu saat, kita menghitung kecepatan rata-rata pada selang yang makin kecil. Ketika lebar selang mendekati nol, hasilnya mendekati kecepatan sesaat.
🔍
Analogi zoom. Semakin dekat kita memperbesar bagian kecil kurva, bagian itu tampak semakin lurus.
Contoh
Lubang yang bisa disederhanakan
limx→2 (x² − 4)/(x − 2)
- Substitusi langsung memberi 0/0, jadi sederhanakan.
- x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
- Untuk x ≠ 2, pecahan menjadi x + 2.
- Saat x mendekati 2, hasil mendekati 4.
Konsep 2
Turunan: kemiringan pada satu titik.
Turunan f′(x) menunjukkan seberapa cepat nilai fungsi berubah terhadap x. Secara visual, nilainya adalah kemiringan garis singgung kurva.
Dari kemiringan rata-rataf′(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)] / hh dibuat semakin kecil sampai garis potong mendekati garis singgung.
Bilangan tetap tidak berubah.
Turunkan pangkat, lalu kurangi satu.
Turunkan setiap suku.
Turunan luar dikali turunan dalam.
Contoh gerak
Posisi s(t) = t² + 2t
Kecepatan adalah turunan posisi: v(t) = s′(t) = 2t + 2. Pada t = 3 detik, v(3) = 2(3) + 2 = 8 satuan/detik.
Laboratorium turunan
Geser titik, lihat garis singgung berubah.
Grafik menggunakan f(x) = x². Turunannya f′(x) = 2x, sehingga kemiringan berubah sesuai posisi x.
Kemiringan f′(x)2.0
f(x) = x² garis singgung
Konsep 3
Integral: menjumlahkan potongan sangat kecil.
Integral tentu menghitung akumulasi dari a sampai b. Pada grafik positif, ini sama dengan luas di bawah kurva.
Integral tentu∫ab f(x) dxJumlah potongan f(x)·Δx ketika Δx semakin kecil.
Integral tak tentu
Mencari keluarga antiturunan.
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + Cberlaku untuk n ≠ −1Integral tentu
Menghitung nilai akumulasi pada batas.
∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)dengan F′(x) = f(x)Teorema Dasar Kalkulus
Turunan dan integral adalah operasi kebalikan.
d/dx ∫ax f(t)dt = f(x)perubahan akumulasi mengembalikan fungsi asalContoh
Hitung ∫₀³ 2x dx
Antiturunan 2x adalah x². Masukkan batas: [x²]₀³ = 3² − 0² = 9. Jadi luas di bawah y = 2x dari x = 0 sampai 3 adalah 9 satuan luas.
Laboratorium integral
Semakin banyak persegi panjang, semakin dekat hasilnya.
Kita mendekati luas di bawah f(x) = x² dari 0 sampai 2 dengan jumlah Riemann titik tengah.
Perkiraan2.6563
Nilai tepat2.6667
Galat0.0104
perkiraan luas f(x) = x²
Contoh dan latihan
Satukan konsepnya.
Turunan polinomial
Jika f(x) = 3x³ − 5x² + 4, maka:
f′(x) = 9x² − 10xAturan rantai
Jika y = (2x + 1)³, maka:
y′ = 3(2x + 1)² · 2Integral polinomial
Integral dari 6x² − 4x adalah:
2x³ − 2x² + CCek pemahaman